[区块链] 密码学——椭圆曲线密码算法(ECC)

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  定义详解:

  k称为公开密钥(public="" key)。<="" p="">

  计算可得27P=-P=(3,13)

  

  本节的最后,大家都都 谈一下求椭圆曲线一点的切线斜率问题图片。

  由椭圆曲线的定义还里能也能 知道,椭圆曲线是光滑的,好多好多 椭圆曲线上的平常点后会 切线。而切线最重要的一有另有4个参数假若斜率k。

1.巴比特论坛 作者:ZMWorm http://8btc.com/article-138-1.html

三、椭圆曲线上的加密/解密

  椭圆曲线密码学(Elliptic Curve Cryptography) 的缩写。该算法是基于椭圆曲线数学的有一种 公钥密码的算法,其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题图片的困难性。

  哪些点做成了一有另有4个循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序后会 杂乱无章

  一起,并后会 所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类还里能也能 用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。下面大家都都 就把y2=x3+ax+b(mod p) 这条曲线定义在Fp上:

  1.2  射影平面坐标系

  例4:求椭圆曲线方y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6上,平常点P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。

  解:(1)先求点-R(x3,y3)

  原因 P,Q,-R三点共线,故设共线方程为y=kx+b,其中

  若P≠Q(P,Q两点不重合) 则

  直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)

  若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线,故由例3.1可知:

  k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

  原因 大家都都 在(0:0:1)点处(即原点)越来越切线。

  看不懂解题过程越来越关系,记住结论[1-3]就还里能也能 了。

3.闵嗣鹤 严士健,《初等数论》,高等教育出版社,1982

  知道了椭圆曲线上的无穷远点。大家都都 就还里能也能 把椭圆曲线放在普通平面直角坐标系上了。原因 普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。大家都都 在普通平面直角坐标系上,求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程,加上上无穷远点O∞(0:1:0),不就构成椭圆曲线了么?

  1.3  椭圆曲线

  法则详解:

  ▲这里的+后会 实数中普通的加法,假若从普通加法中抽象出来的加法,他具备普通加法的一点性质,但具体的运算法则显然与普通加法不同。

  例1:求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  解:∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠0。即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标,后会 (1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  1. 数学上的椭圆曲线及相关概念

  我能 们 想一想,为哪些椭圆曲线为哪些连续?原因 椭圆曲线上点的坐标,是实数的(也假若说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的),实数是连续的,原因 了曲线的连续。否则,大家都都 要把椭圆曲线定义在有限域上(顾名思义,有限域是有一种 还里能也能 由有限个元素组成的域)。

  ▲直线L上的无穷远点还里能也能 有一有另有4个。(从定义可直接得出)

  ▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。(从定义可直接得出)

  ▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。(否则L1和L2有公共的无穷远点P ,则L1和L2有有另有4个交点A、P,故假设错误。)

  ▲平面上全体无穷远点构成十根无穷远直线。(被委托人想象一下这条直线吧)

  ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。

      

  密码学中,描述十根Fp上的椭圆曲线,常用到五个参量:

       T=(p,a,b,G,n,h)。

  (p 、a 、b 用来选取十根椭圆曲线,G为基点,n为点G的阶,h 是椭圆曲线上所不为何的个数m与n相除的整数每段)

  也假若说满足方程[1-2]的光滑曲线加上一有另有4个无穷远点O∞,组成了椭圆曲线。为了方便运算,表述,以及理解,今后论述椭圆曲线将主要使用[1-2]的形式。

同有4个劲线上的有另有4个点之和等于0.

  Fp上的椭圆曲线同样有加法,但原因 还里能 给以几何意义的解释。不过,加法法则和实数域上的差太少,请读者自行对比。

  将[2],代入[1] 有

  (kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6    --------[3]

  对[3]化为一般方程,根据三次方程根与系数关系(当三次项系数为1时;-x1x2x3 等于常数项系数, x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数,-(x1+x2+x3)等于二次项系数。)

  好多好多 -(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2

  x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标

  原因 k=(y1-y3)/(x1-x3) 故

  y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标

  运算法则:任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合,则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另一点R’,过R’做y轴的平行线交于R。大家都都 规定P+Q=R。(如图)

  原因 椭圆曲线上一点P,位于最小的正整数n,使得数乘nP=O∞,则将n称为P的 阶,若n不位于,大家都都 说P是无限阶的。

  事实上,在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n后会 位于的。



  1.4  椭圆曲线上的加法

  2. 密码学中的椭圆曲线

  本节的最后,提醒大家都都 注意一点,之前 提供的图像原因 会给大家都都 产生有一种 错觉,即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上,椭圆曲线固然一定关于x轴对称。如下图的y2-xy=x3+1

  在ECC流行起来之前 ,几乎所有的公钥算法后会 基于RSA、DSA和DH ———— 基于模运算的可选加密系统。RSA及其友类算法在当前仍非常重要,有4个劲与ECC一起使用。不过,RSA及其友类算法肩上的原理很容易解释,因而被广泛理解,一点简单的实现也还里能也能 很容易编写出来;但ECC的实现基础对于大多数人来说仍很神秘。

  好了,不吐槽了,为了方便大家都都 对椭圆曲线密码算法有系统的了解,我下发了几篇较好的博文,并加上了被委托人的见解!

  公开密钥算法有4个劲要基于一有另有4个数学上的问题图片。比如RSA 土依据的是:给定有另有4个素数p、q 很容易相乘得到n,而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上哪些问题图片呢?

  1、用户A选定十根椭圆曲线Ep(a,b),并取椭圆曲线上一点,作为基点G。

  2、用户A选取一有另有4个私有密钥k,并生成公开密钥K=kG。

  3、用户A将Ep(a,b)和点K,G传给用户B。

  4、用户B接到信息后 ,将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M(编码土依据好多好多 ,这里不作讨论),并产生一有另有4个随机整数r(r<n)。

  5、用户B计算点C1=M+rK;C2=rG。

  6、用户B将C1、C2传给用户A。

  7、用户A接到信息后,计算C1-kC2,结果假若点M。

       ECC技术要求:

  比特币使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥,选取的是secp256k1曲线。

  原因 C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再对点M进行解码就还里能也能 得到明文。

  大家都都 也还里能也能 得到直线的方程aX+bY+cZ=0(想想为哪些?提示:普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0)。新的坐标体系也能表示无穷远点么?那后来 会 们 先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识,大家都都 知道无穷远点是两条平行直线的交点。越来越,何如求两条直线的交点坐标?这是初中的知识,假若将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是:aX+bY+c1Z =0; aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2);

  (为哪些?提示:还里能也能 从斜率考虑,原因 平行线斜率相同);

  大家都都 设x=X/Z ,y=Y/Z代入方程[1-1]得到:

  y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[1-2]

  大家都都 把点G称为基点(base point),

  椭圆曲线的定义:

  十根椭圆曲线是在射影平面上满足方程---------------------------[1-1]的所不为何的集合,且曲线上的每个点后会 非奇异(或光滑)的。

  ▲[1-1] 是Weierstrass方程(维尔斯特拉斯,Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897),是一有另有4个齐次方程。

  考虑如下等式:

  K=kG  [其中 K,G为Ep(a,b)上的点,k为小于n(n是点G的阶)的整数]

  越来越发现,给定k和G,根据加法法则,计算K很容易;但给定K和G,求k就相对困难了。

  这假若椭圆曲线加密算法采用的问题图片。

  k(k<n,n为基点g的阶)称为私有密钥(privte key),

   具体来说,我将触及以下主题:

  1. 无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P

  2. P(x,y)的负元是 (x,-y),有P+(-P)= O∞

  3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:

  x3≡k2-x1-x2(mod p) 

  y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

  其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1  若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1)

【时间仓促,如有错误,欢迎指正! ||   欢迎留下您的评语!  大家都都 一起探讨、学习区块链!】

  解:令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6

  求偏导数

  Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4

  Fy(x,y)= 2y+a1x +a3

  则导数为:f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3)

         = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)

  好多好多  -------------[1-3]

  例3:求椭圆曲线方程上,平常点A(x,y)的切线的斜率k。

  1、p 当然越大越安全,但越大,计算传输时延会更慢,150位左右还里能也能 满足一般安全要求;

  2、p≠n×h;

  3、pt≠1 (mod n),1≤t<20;

  4、4a3+27b2≠0 (mod p);

  5、n 为素数;

  6、h≤4。

一、数学上的椭圆曲线及相关概念

 

 

  注:大家都都 还要的假若有另有4个点同线,与点的次序无关。这原因 ,原因 P、Q和R同线,越来越P + (Q + R) = Q + (P + R) = R + (P + Q) = • • • = 0. 假若,大家都都 直观地证明了大家都都 的“+”运算既满足结合律也满足交换律。  

  例5: 已知椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P

解:

  在这俩加密通信中,原因 有一有另有4个偷窥者H ,他还里能也能 看多Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 后会 相对困难的。否则,H无法得到A、B间传送的明文信息。

  下面,大家都都 利用P、Q点的坐标(x1,y1),(x2,y2),求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。

  直线上跳出 P∞点,所带来的好处是所有的直线都相交了,且还里能也能 一有另有4个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把假若平面上的点叫做平常点。

  大家都都 对普通平面直角坐标系上的点A的坐标(x,y)做如下改造:

  令x=X/Z ,y=Y/Z(Z≠0);则A点还里能也能 表示为(X:Y:Z)。

  变成了有有另有4个参量的坐标点,这就对平面上的点建立了一有另有4个新的坐标体系。

  ▲椭圆曲线上有一有另有4个无穷远点O∞(0:1:0),原因 这俩点满足方程[1-1]。

  ▲k个相同的点P相加,大家都都 记作kP。如下图:P+P+P = 2P+P = 3P。

  4. 椭圆曲线签名与验证签名

  下面,大家都都 给出一有另有4个有限域Fp,这俩域还里能也能 有限个元素。

   

  Fp中还里能也能 p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1;

  Fp 的加法(a+b)法则是 a+b≡c (mod p);即,(a+c)÷p的余数 和c÷p的余数相同。

  Fp 的乘法(a×b)法则是  a×b≡c (mod p);

  Fp 的除法(a÷b)法则是  a/b≡c (mod p);即 a×b-1≡c  (mod p);(b-1也是一有另有4个0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p) )。

  Fp 的单位元是1,零元是 0。

【转载请注明出处!http://www.cnblogs.com/X-knight/

  [  时间有限、见解不深,如跳出 错误,欢迎指正!]

  现在大家都都 描述一有另有4个利用椭圆曲线进行加密通信的过程:

  射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系(假若大家都都 初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系)的扩展。大家都都 知道普通平面直角坐标系越来越为无穷远点设计坐标,还里能 表示无穷远点。为了表示无穷远点,产生了射影平面坐标系,当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点(数学也是“向下兼容”的)。

  最后,大家都都 讲一下椭圆曲线上点的阶。

  大家都都 现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识,这是值得高兴的。

  ▲根据这俩法则,还里能也能 得到如下结论 :原因 椭圆曲线上的有另有4个点A、B、C,位于同十根直线上,越来越大家都都 的和等于零元,即A+B+C= O∞

  上一节,大家都都 原因 看多了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象没哪些联系。大家都都 还里能也能 建立一有另有4个同类于在实数轴加上法的运算法则呢?天才的数学家找到了这俩运算法则

   椭圆曲线签名算法,即ECDSA。

  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

 

  私钥签名:

  1、选取随机数r,计算点rG(x, y)。

  2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。

  3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

 

  公钥验证签名:

  1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。

  2、根据消息求哈希h。

  3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。

 

  原理如下:

  hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

  = r(h+xk)G / (h+kx) = rG

  自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念,使得代数运算达到了宽度的统一。比如数学家总结了普通加法的主要特性,提出了加群(也叫交换群,或Abel(阿贝尔)群),在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法没哪些区别。这你说哪些假若数学抽象把:)。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。

  将二方程联立,求解。有c2Z= c1Z= -(aX+bY),∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0;

  好多好多 无穷远点假若这俩形式(X:Y:0)表示。注意,平常点Z≠0,无穷远点Z=0,否则无穷远直线对应的方程是Z=0。

二、密码学中的椭圆曲线 

  例2:求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。

  解:原因 L1∥L2 好多好多 有Z=0, X+2Y=0;好多好多 坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0。即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠0的坐标,都表示这俩无穷远点。

  ▲根据这俩法则,还里能也能 知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上一点P的连线交于P’,过P’作y轴的平行线交于P,好多好多 有 无穷远点 O∞+ P = P 。假若,无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当(0+2=2),大家都都 把无穷远点 O∞ 称为 零元。一起大家都都 把P’称为P的负元(简称,负P;记作,-P)。(参见下图)

  平行线,永不相交。不过到了近代这俩结论遭到了质疑。平行线会太少再在很远很远的地方相交?事实上没大家见到过。好多好多 “平行线,永不相交”假若假设(大家都都 想想初中学习的平行公理,是越来越证明的)。既然还里能也能 假设平行线永不相交,也还里能也能 假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞(请大家都都 闭上眼睛,想象一下那个无穷远点P∞,P∞是后会 很虚幻,着实与其说数学锻炼人的抽象能力,还不如说是锻炼人的想象力)。给个图帮助理解一下:

  看来这俩新的坐标体系也能表示射影平面上所有的点,大家都都 就把这俩也能表示射影平面上所不为何的坐标体系叫做射影平面坐标系。

  选取有另有4个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b

  4a3+27b2≠0 (mod p)

  则满足下列方程的所不为何(x,y),加上上 无穷远点O∞ ,构成十根椭圆曲线。

  y2=x3+ax+b  (mod p)

  其中x,y∈[0,p-1]的整数,并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

       

  但请大家都都 注意,前面学到的椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密好多好多 ,大家都都 还要把椭圆曲线变成离散的点, 要把椭圆曲线定义在有限域上

  是后会 着实不可思议?椭圆曲线,为何变成了这般模样,成了一有另有4个一有另有4个离散的点?

  椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子,但其本质仍是十根椭圆曲线。举一有另有4个不太恰当的例子,好比是水,在常温下,是气体;到了零下,水就变成冰,成了气体;而温度上升到一百度,水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。

          

        

  ▲ 所谓“非奇异”或“光滑”的,在数学中是指曲线上任意一点的偏导数Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)还里能 一起为0。原因 你越来越学匮乏等数学,还里能也能 假若理解这俩词,即满足方程的任意一点都位于切线。

  下面有另有4个方程都后会 椭圆曲线,尽管大家都都 是方程[3-1]的形式。

  以下是无穷远点的有2个性质。

REFERENCE

  域的概念是从大家都都 的有理数,实数的运算中抽象出来的,严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说,域中的元素同有理数一样,有被委托人得加法、乘法、除法、单位元(1),零元(0),并满足交换率、分配率。

   1.1  从平行线谈起

四、椭圆曲线签名与验证签名

  好多好多 28P=O ∞ P的阶为28

  这有2个参量取值的选取,直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下有2个条件:

  大家都都 来看看椭圆曲线是哪些样的。

  否则P,Q,-R三点的坐标值假若方程组:

  y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6    -----------------[1] 

  y=(kx+b)                     -----------------[2]

的解。

  今天在学椭圆曲线密码(Elliptic Curve Cryptography,ECC)算法,被委托人手里缺少介绍该算法的专业书籍,故在网上查了好多好多 博文与书籍,否则大多数博客写的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊! 雷同不说,关键是介绍的都后会 很清楚,是我在阅读过程中、产生的好多好多 问题图片无法避免!同类:只来句‘P+Q=R’,否则为哪些等于呢?是根据哪些计算出来的呢? 后来 查了好久,才发现:这是规定的、是定义!瞬间很是无语!

  ▲ 椭圆曲线的特性,并后会 椭圆的。假若原因 椭圆曲线的描述方程,同类于计算一有另有4个椭圆周长的方程,故得名。

  上一节,大家都都 建立了射影平面坐标系,这俩节大家都都 将在这俩坐标系下建立椭圆曲线方程。原因 大家都都 知道,坐标中的曲线是还里能也能 用方程来表示的(比如:单位圆方程是x2+y2=1)。椭圆曲线是曲线,自然椭圆曲线后会 方程。

  3. 椭圆曲线上的加密/解密

2.张禾瑞,《近世代数基础》,高等教育出版社,1978

  (2)利用-R求R

  显然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标

  而y3 y4 为 x=x4时 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解

  化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系得:

  -(a1x+a3)=y3+y4

  故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出点R的纵坐标

  即:

  x4=k2+ka1+a2+x1+x2;

  y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

  

4. ECC详解 https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/73921505.html

  大家都都 看一下y2=x3+x+1  (mod 23)的图像